Las ecuaciones de Stefan parecen describir bastante bien el problema. Sin embargo, hasta la década de 1970 no estaba claro si podían proporcionar soluciones no físicas en ciertas situaciones: por ejemplo, las ecuaciones podían predecir la forma fractal de un cubo de hielo, que en realidad no se observaba. Estudiar este problema fue mucho más difícil que estudiar las películas de jabón: por un lado, porque el derretimiento de los cubitos de hielo tiene un componente temporal y espacial, y por otro lado, porque durante el proceso de derretimiento pueden aparecer picos, esquinas y bordes. – Incluso si la forma original del cubo de hielo es blanda. Imagínese un cubo de hielo con forma de reloj de arena: una vez que la pieza conectada se derrite, se forman dos objetos con un punto claro, al menos por un rato.

Una vez más, Caffarelli echó un vistazo más de cerca a las ecuaciones diferenciales: Y lo pudo demostrar en 1977Pueden surgir «singularidades» en la superficie del hielo derretido: lugares donde ciertas cantidades adquieren valores infinitos. El matemático ha demostrado que pueden existir casquetes polares aislados (en cuyo caso la derivada de la coordenada espacial en este punto se vuelve infinitamente grande). Pero no solo eso: Caffarelli descubrió que la temperatura cerca de estos picos aumenta al cuadrado con la distancia. Esto hace posible buscar tales singularidades de manera específica: simplemente siga el perfil de temperatura del agua. Este resultado ha planteado muchas preguntas porque es inconsistente con nuestro experimento. Después de todo, no te cortes con la superficie de un cubo de hielo, siempre se siente muy suave. En el año 2021, tres matemáticos han resuelto el misterio. Demostraron que las singularidades aparecen muy raramente; de ​​hecho, la probabilidad de golpear un pico de hielo de este tipo por accidente es cero.

El mayor avance en el estudio de los fluidos

Después de todos estos logros, Caffarelli no se detuvo en uno de los problemas más difíciles de la física: las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas son ecuaciones diferenciales que describen el flujo de fluidos. Las ecuaciones han planteado muchas preguntas durante siglos. Ni siquiera se sabe si siempre dan una solución finita y suave. Esto significa: no está claro si la velocidad del flujo puede aumentar repentinamente de un lugar (o un punto en el tiempo) a otro, o incluso asumir valores infinitamente grandes. De hecho, esta pregunta es uno de los Siete Problemas del Milenio El Clay Institute of Mathematics ofreció un premio de $ 1 millón en 2000.

Mientras caminaba por el barrio chino de Nueva York en 1980, Caffarelli y sus colegas Robert Kuhn y Louis Nirenberg decidieron observar las ecuaciones de Navier-Stokes. Dos años después, lograron un resultado, que representa el mayor avance en el campo hasta la fecha: si debe haber soluciones únicas (es decir, cambios discretos o valores de velocidad infinitos), deben desaparecer nuevamente de inmediato. Esto no resuelve el Problema del Milenio, pero asegura que los fluidos de acuerdo con las ecuaciones solo se comportarán de manera extraña, si es que lo hacen, en el corto plazo.