Viaje en once dimensiones

Una guía útil proviene de la ingeniería. Sin embargo, tienes que ir al espacio de 11 dimensiones para esto, y eso parece un poco confuso, al menos en la primera visita. Un punto en este espacio no es más que una cadena de números («vectores») de longitud 11. Así que cada intento de resolver nuestra extraña prueba es un vector de once, con componentes que son 0 o 1.

En nuestro familiar espacio tridimensional, los ocho vectores cuyas componentes son 0 o 1 forman un cubo. En consecuencia, las soluciones de prueba concebibles son 2048 ángulos de un «cubo unitario en el undécimo espacio». Si dos esquinas de un cubo regular difieren en una sola coordenada, entonces están conectadas por una arista. Esto también debería aplicarse al cubo unitario de once dimensiones. Aquí hay solo once bordes que sobresalen de cada vértice.

Para encontrar una ruta mejor en este espacio, se introduce algo así como una medida de distancia («métrica»). La distancia entre dos esquinas de un cubo unitario se define como el número de aristas que tienes que atravesar para llegar de una esquina a la otra, por supuesto, usando el camino más corto. Es igual al número de coordenadas en las que difieren los once vectores. También se le llama «distancia de Hamming» en honor al matemático Richard Wesley Hamming (1915-1998), quien usó el concepto de distancia para construir un cifrado de corrección de errores. En terrenos más comunes, y más específicamente en el diseño de tablero de ajedrez del centro de Manhattan, esta medida de distancia se conoce como la «métrica del taxista»: la distancia de A a B no es la distancia lineal, sino el número de viajes de intersección a intersección. que tienes que recorrer en la red de carreteras.

Si tenemos una escala, también podemos hablar de esferas. Como en la geometría familiar, la bola está centrada METRO y radio realmente conjunto de todos los puntos METRO distancia a lo sumo realmente tener. No se desanime por el hecho de que las bolas parecen muy angulares en la escala del taxista. Y en un cubo de once dimensiones, no puedes imaginar una esfera de todos modos. Incluso cuando se dibuja en un espacio 3D, la gran cantidad de puntos hace que las cosas sean muy confusas. Para dar al menos una cierta impresión, me limité a siete en lugar de once dimensiones en la ilustración:

¿Por qué toda esta charla sobre bolas cuadradas en el undécimo espacio? Considerar la tarea de encontrar un conjunto mínimo de posibles soluciones, que contengan ocho respuestas correctas garantizadas, desde una nueva perspectiva. El objetivo es cubrir el cubo de once unidades dimensionales con la menor cantidad de bolas posible con un radio de 3. ¿Por qué Radio 3? Si la esquina desconocida del cubo que corresponde a la solución correcta se encuentra en dicha esfera, el centro de la esfera se desvía de este ángulo en tres lugares como máximo, por lo que se acepta como solución. Pero como no sabemos la solución correcta, debemos asegurarnos de que cada esquina del cubo unitario caiga en una esfera triangular.

En Taxi Driver Scale, la tarea de cubrir todo Manhattan a balazos es sorprendentemente fácil. Entonces, uno puede tener la idea de organizar las esferas simétricamente de alguna manera en el cubo de la unidad. esto falla