Pi en todas partes: The Mysterious Fives y la serie Taylor

Herramienta definitiva: Serie Taylor

La infame serie de Taylor, derivada por el matemático británico Brooke Taylor (1685-1731) ya en el siglo XVIII, muestra que esta simplificación es permisible: ), entonces esto se puede usar cerca de un punto a Siempre aproximado por la suma de los polinomios. Este es un teorema muy útil, porque los polinomios se encuentran entre las estructuras más simples del cálculo: consisten en variables elevadas a un número, por ejemplo X3 + 4X2X.

serie Taylor | La forma más sencilla de tratar una función compleja es el método de Taylor, en el que también se basa la teoría de perturbaciones utilizada en física. Esto permite la aproximación de funciones como el seno (negro). Cuantos más términos tenga en cuenta (rojo: uno, naranja: dos, amarillo: tres, etc.), mejor será el enfoque que mapee la solución completa.

Y lo mejor de la serie de Taylor: hay una regla sobre cómo encontrar el polinomio correcto para un punto a encuentra en la curva: cumplidoa(X) & Aproximadamente ; f (a) + f ‘ (a) (x a) + ½ f ‘ (a) (x − a)2 +… + 1¡norte!F(s)(a) (x − a)norte. La fórmula puede parecer complicada, pero en realidad no lo es. establece que la función f(x) sobre el punto a Por polinomio en variables (x-a) Los prefactores vienen dados por las derivadas de la función f(x) Calcular. Se puede demostrar que este es realmente el caso mostrando esta diferencia f(x)cumplidoa(X) Se vuelve demasiado pequeño cuando X Sí mismo a Acercarse.

La serie de Taylor se puede reducir específicamente a la función seno para valores pequeños de XEntonces, al punto a = 0 sobre la aplicación. Para esto necesitas saber que la derivada de seno da coseno y la derivada de coseno da seno negativo:a(X) & Aproximadamente ; sen (0) + cos (0) x – ½ sen (0) x2 +… = X. Si uno considera solo los tres primeros términos de la serie de Taylor, queda solo X soporte (porque sin(0) = 0). Esto explica por qué el seno es una línea recta cerca del origen.

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De los muchos cinco hijos, solo quedó Pi.

Ya casi llegamos. Como recordatorio, queríamos saber la razón del resultado del pecado (1555…) El número circular pi se muestra en la medida angular. Al dar una vuelta en radianes, podemos aproximar la función seno por su argumento, que es: sen (1555…·π180) y aprox. 1555…·π180. Para profundizar en esto, es útil 1555… escrito como un número decimal. resulta: 15 = 0,2; 155… = 0,01818…; 1555… = 0,00180180…; 15555… = 0,00018001800… y así sucesivamente. La secuencia numérica 180 aparece en todos los números decimales (excepto en los dos primeros). Saca el número periódico del recíproco norte Cinco resultados después de una ruptura de 18 o 180 obtienes la siguiente relación: 1555…·π180 & Aproximadamente ; 180π18010−n−2.

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