En la siguiente sección, el autor se ocupa de las variedades, que describe de la siguiente manera: “Un modelo se llama variedad si no tiene puntos especiales: no hay puntos finales, ni puntos de intersección, ni puntos de borde, ni puntos de ramificación. Debe ser igual en todos los lugares».

Similar a esto, uno encuentra la esfera y el plano infinito como variedades bidimensionales. Como variación adicional, Beckmann sirve el toroide, un tipo de dona que tiene una característica distintiva con un agujero en el medio. Luego, esta forma se puede expandir a una familia interminable de torii con más agujeros. Si bien esto aún puede representarse bien, falta la vista de los llamados planos proyectivos verdaderos. Sin embargo, Beckmann describe cómo se puede «hacer» tal figura, es decir, cosiendo un disco con cinta de Möbius.

Desafortunadamente, el autor evita mencionar el nombre Möbius (o Lista) en este contexto, como lo hacen Poincaré y Perelman a continuación; En cambio, se limitó a la frase extraoficial: «La tercera dimensión (…) ahora está bien pensada, aunque lleve cien años y un millón de dólares en premios». Klein también aborda la botella, sin tratar de identificar su principal ventaja. Desafortunadamente, estas encuestas y predicciones sobre el desarrollo histórico de la teoría habrían encajado muy bien con el capítulo.

A continuación, el autor aborda el concepto generalizado de dimensión aplicado a situaciones cotidianas (sabores pentadimensionales, colores tridimensionales, etc.) y concluye con un espacio-tiempo tetradimensional, cuya forma topológica aún no está clara.