Con este conocimiento, se rompió el dique: Cardano pudo generalizar los resultados de Tartaglia y encontrar fórmulas de solución para cada tipo de ecuación cúbica. Porque nota que: si pones en la ecuación general X³ + cantina² + qx = bien variable X durante R –F/ 3 sustituido, obtienes una nueva ecuación con las variables R la forma: R³ + q’t = spara el que Tartaglia tenía una fórmula de loción.

«Los cuadrados de números negativos son tan ingeniosos como inútiles»Gerolamo Cardano, matemático

Mientras Cardano pasaba por varios casos especiales, notó algo inusual. Por ejemplo, ¿quería la ecuación X³ = 15X +4 resolver, tenia que resolver dos numeros Y Y Quinto Encuentra las dos ecuaciones Y + Quinto = 4f Y · Quinto = 125. ¿Cuál será el par de números coincidentes? Afortunadamente, hoy en día uno puede «engañar» el problema y tratarlo algebraicamente. Para hacer esto tienes que insertar las dos ecuaciones entre sí y Quinto Derretir: Quinto = 2 ± √ (4−125) = 2 ± √ (−121). Pero ese era exactamente el problema de Cardano: había encontrado la raíz cuadrada de un número negativo. El matemático calificó el resultado de «tan ingenioso como inútil», pero no entró en más detalles en su obra posterior.

Cardano al principio realizó todos estos cálculos en secreto con su alumno Ludovico Ferrari (1522-1569), quien más tarde encontró una fórmula de solución general para ecuaciones cuadráticas. Dado que Cardano ganó su dinero principalmente como médico, no tuvo que mantener sus descubrimientos matemáticos en secreto del público. Incluso si perdiera un duelo, no tendría ninguna consecuencia para su carrera. Debido a su promesa a Tartaglia, todavía tenía que guardarse los resultados para sí mismo. Al menos hasta 1543, cuando el yerno del difunto matemático del Ferro se acercó a Cardano y Ferrari: descubrió en los cuadernos de su suegro la fórmula para resolver ecuaciones cúbicas, que también trabajó Tartaglia. Excepto que Del Ferro lo encontró hace mucho tiempo en Tartaglia.

Para Cardano, eso cambió todo. En su opinión, si Tartaglia no hubiera sido el iniciador de la fórmula de disolución, esto lo liberaba del deber de secreto. Y así, dos años después, Cardano publicó su obra principal, »Ars magnaDonde presentó las ecuaciones de solución para muchos casos especiales de ecuaciones cúbicas, así como la solución de Ferrari a las ecuaciones de cuarto grado. Puede que haya traicionado a Tartaglia al hacerlo, pero hay que darle crédito a Cardano: no reclamó los éxitos solo para sí mismo, sino que nombró a Ferrari, Tartaglia y del Ferro como los descubridores de las diversas soluciones.

¿Cardano tenía derecho a publicar la fórmula?

Sin embargo, Tartaglia se molestó mucho cuando se enteró de la liberación. El empezó, Para enviar y publicar todo tipo de mensajes a Cardano, en el que lo insultó (entre otras cosas, llamándolo ingenuo). Si bien su ira es al menos parcialmente comprensible, el trabajo de Cardano fue mucho más allá de lo que encontró Tartaglia: entre otras cosas, popularizó los hallazgos de Tartaglia y discutió muchos casos de uso diferentes en detalle. Ante una avalancha de insultos, Cardano mantuvo un perfil bajo. Pero Ferrari no podía quedarse de brazos cruzados y defendió a su mentor.

Esto condujo a otro duelo infame en 1548: esta vez entre Ferrari y Tartaglia. Prometió a este último un prestigioso puesto permanente en Brescia si ganaba. Pero durante el enfrentamiento, Tartaglia tuvo que admitir la derrota tras el primer día y admitir que era inferior a Ferrari. A pesar de esto, dio clases en Brescia durante un año, sin embargo, no le pagaron por su derrota.