Doble perspectiva

Esto significa que la poderosa herramienta de dualidad ahora también está disponible en el marco de la conocida geometría euclidiana. Con su ayuda, puedes transformar teorías conocidas en otras nuevas, sin tener que probarlas tú mismo. La prueba se desprende fácilmente del principio de dualidad.

La frase clásica de la geometría escolar es: En todo triángulo las tres alturas se cruzan en algún punto. Para poder duplicar esto, se necesitan algunos preparativos. La duplicación de porciones limitadas de líneas es más difícil que la duplicación de las líneas mismas y crea objetos desconocidos que son imposibles de tratar en este contexto. Lo mejor es imaginar los lados de un triángulo como líneas rectas extendiéndolos más allá de los vértices hasta el infinito. Asimismo, una altitud es una línea recta que pasa por un vértice y es perpendicular (en ángulo recto) al otro lado del triángulo.

El dual de un triángulo es un triple. A primera vista, parece exactamente un triángulo, excepto que está definido por sus lados, y sólo entonces los ángulos aparecen como puntos de intersección.

Tradicionalmente, la geometría se practica desde una perspectiva «divina».

Como la altura es una línea recta, su dualidad es un punto, que no desempeña ningún papel en la geometría clásica y por tanto no tiene un nombre definido; Llamémoslo el «punto culminante». Este se encuentra en un lado y es perpendicular a la esquina opuesta. De hecho, se aplica la versión dual del teorema de altitud del triángulo: los puntos de elevación de cada tres lados se encuentran en una línea recta. Llama la atención que este teorema se aplica incluso aunque la posición de los puntos de elevación y, por tanto, la línea recta que los une no sea fija, sino que dependa de la elección del centro absoluto.

Hay que acostumbrarse a una geometría tan extendida: si dos puntos son paralelos o perpendiculares entre sí, dónde pasa la línea recta por los puntos de elevación y muchos otros detalles dependen de la posición del centro absoluto. Puedes colocarlo en cualquier lugar que te sientas cómodo o práctico. Para describir el movimiento de la luna o del satélite, se puede elegir el geocentro. Y por cierto, tus ojos suelen ser una buena elección.

Esta dependencia introduce un elemento de subjetividad completamente desconocido. Tradicionalmente, la geometría se hace desde una perspectiva «divina»: se ve todo y no importa cómo esté orientado el triángulo en el plano, por ejemplo. Ahora, de repente, el punto de vista del observador adquiere una importancia fundamental. Sin embargo, este campo no se llama oficialmente «autogeometría», sino más bien «geometría euclidiana polar». También existe la «geometría euclidiana dual», que define un punto cercano pero no una línea de larga distancia; Estos términos no se utilizan consistentemente en la literatura.