Este término se puede reescribir con la ayuda de derivadas de la función exponencial. El objetivo es identificar los factores X^k Para reemplazar de la ecuación. La figura después parece más complicada, pero resulta muy útil para simplificar la integración posterior. Aquí la propiedad práctica crucial es que la derivada de la función exponencial es nuevamente la función exponencial:

\[ f(x) = \lim_{\epsilon \to 0}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k e^{\epsilon x} = \lim_{\epsilon \to 0}\sum_{k=0}^\infty a_k \left(\frac{d}{d \epsilon}\right)^k e^{\epsilon x}\]

Con cada derivación de la función exponencial con respecto a uno se obtiene según la regla de la cadena un X como factor Estás a punto de terminar. Porque resulta que puedes devolver la cadena infinita a la función original F Reescritura. Sin embargo, el argumento cambia: la cadena de poder ya no depende de X Pero es derivada con respecto a:

\[ f(x) = \lim_{\epsilon \to 0}\sum_{k=0}^\infty a_k \left(\frac{d}{d \epsilon}\right)^k e^{\epsilon x} = \lim_{\epsilon \to 0} f \left(\frac{d}{d \epsilon}\right) e^{\epsilon x} \]

Ya has alcanzado tu objetivo. Al sustituir esta función en una integral, uno puede simplificar para deshacerse de la integral por completo. Entonces F Ya no depende de la variable de integración. X Por lo tanto, se puede derivar de la integral. Solo necesita integrar sobre una función exponencial, el argumento más simple imaginable para la integración:

\[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} f \left(\frac{d}{d \epsilon}\right) \int_a^b e^{\epsilon x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} f \left(\frac{d}{d \epsilon}\right) \frac{e^{\epsilon b}-e^{\epsilon a}}{\epsilon} \]

De esta forma, la parte compleja de la integración puede ser reemplazada por una derivada. La dificultad de la tarea ahora es saber qué F(d/dε). esto ayuda aquí F Se puede reescribir como una serie de potencias: \(\sum_{k = 0}^\infty a_k \left( \frac{d}{d\epsilon} \right)^k\). Es decir, los términos de las derivadas superiores se aplican a la expresión \(\frac{e^{\epsilon b} -e^{\epsilon a}}{\epsilon}\).

Por ejemplo, puedes preguntarte qué pasaría si F Es una función exponencial. En otras palabras: ¿Cuál es el resultado de la publicación?^{d / dε} Se aplica a cualquier función diferencial j(ε)? Como resultado (ver el cuadro a continuación), el resultado no es más que un cambio en la función j:H^{d / dε}j(e) = j(ε + 1).

Dado que muchas funciones (como el seno y el coseno o las funciones hiperbólicas) se pueden expresar en términos de funciones exponenciales, sus integrales se pueden calcular muy rápidamente con el nuevo método, incluso si muchas se concatenan entre sí. Donde más se usa la integral parcial una y otra vez, ahora puede calcular hábilmente las derivadas.